그림과 같이 두 상수 $a, \; b$ 에 대하여 함수 $$f(x)=a \sin \dfrac{\pi x}{b}+1 \; \left ( 0 \le x \le \dfrac{5}{2}b \right )$$ 의 그래프와 직선 $y=5$ 가 만나는 점을 $x$ 좌표가 작은 것부터 차례로 $\mathrm{A, \; B, \; C}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{BC}}= \overline{\mathrm{AB}}+6$ 이고 삼각형 $\mathrm{AOB}$ 의 넓이가 $\dfrac{15}{2}$ 일 때, $a^2+b^2$ 의 값은? (단, $a>4, \; b>0$ 이고, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.)
