그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=2, \; \cos ( \angle \mathrm{BAC} ) = \dfrac{\sqrt{3}}{6}$ 인 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 가 있다. 선분 $\mathrm{AC}$ 위의 한 점 $\mathrm{D}$ 에 대하여 직선 $\mathrm{BD}$ 가 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 외접원과 만나는 점 중 $\mathrm{B}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{E}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{DE}}=5$, $\overline{\mathrm{CD}}+\overline{\mathrm{CE}}=5\sqrt{3}$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 외접원의 넓이는 $\dfrac{q}{p}\pi$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)
