넓이와 적분_난이도 중 (2023년 4월 전국연합 고3 12번)

 

 

그림과 같이 삼차함수 $f(x)=x^3-6x^2+8x+1$ 의 그래프와 최고차항의 계수가 양수인 이차함수 $y=g(x)$ 의 그래프가 점 $\mathrm{A}(0, \; 1)$, 점 $\mathrm{B}(k, \; f(k))$ 에서 만나고, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm{B}$ 에서의 접선이 점 $\mathrm{A}$ 를 지난다.

곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $\mathrm{AB}$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_1$, 곡선 $y=g(x)$ 와 직선 $\mathrm{AB}$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_2$ 라 하자. $S_1=S_2$ 일 때, $\displaystyle \int_0^k g(x)dx$ 의 값은? (단, $k$ 는 양수이다.)

 

 

① $-\dfrac{17}{2}$          ② $-\dfrac{33}{4}$          ③ $-8$          ④ $-\dfrac{31}{4}$          ⑤ $-\dfrac{15}{2}$

 

정답 ②