삼각함수의 극한 활용_난이도 중 (2023년 4월 전국연합 고3 미적분 27번)

 

 

그림과 같이 좌표평면 위에 점 $\mathrm{A}(0, \; 1)$ 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 $C$ 가 있다. 원점 $\mathrm{O}$ 를 지나고 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\theta$ 인 직선이 원 $C$ 와 만나는 점 중 $\mathrm{O}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{P}$ 라 하고, 호 $\mathrm{OP}$ 위에 점 $\mathrm{Q}$ 를 $\angle \mathrm{OPQ}=\dfrac{\theta}{3}$ 가 되도록 잡는다. 삼각형 $\mathrm{POQ}$ 의 넓이를 $f(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{f(\theta)}{\theta^3}$ 의 값은? (단, 점 $\mathrm{Q}$ 는 제$1$사분면 위의 점이고, $0 \lt \theta \lt \pi$ 이다.)

 

 

① $\dfrac{2}{9}$          ② $\dfrac{1}{3}$          ③ $\dfrac{4}{9}$          ④ $\dfrac{5}{9}$          ⑤ $\dfrac{2}{3}$

 

정답 ③