미분가능할 조건_난이도 중상 (2022년 11월 전국연합 고2 29번)

두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 를 $$\begin{aligned} f(x) &= \begin{cases} x+5 & (x<5) \\ |2x-a| & (x \ge 5) \end{cases} \\[10pt] g(x) &= (x-5)(x-b) \end{aligned}$$ 라 하자. 함수 $f(x)g(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 $a, \; b$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b)$ 의 개수를 구하시오. 

 

정답 $11$