조건부 확률_난이도 중상 (2022년 10월 교육청 고3 확통 30번)

주머니 $\rm A$ 에 흰 공 $3$ 개, 검은 공 $1$ 개가 들어 있고, 주머니 $\rm B$ 에도 흰 공 $3$ 개, 검은 공 $1$ 개가 들어 있다. 한 개의 동전을 사용하여 [실행 1] 과 [실행 2]를 순서대로 하려고 한다.

 

[실행 1]

한 개의 동전을 던져 앞면이 나오면 주머니 $\rm A$ 에서 임의로 $2$ 개의 공을 꺼내어 주머니 $\rm B$ 에 넣고, 뒷면이 나오면 주머니 $\rm A$ 에서 임의로 $3$ 개의 공을 꺼내어 주머니 $\rm B$ 에 넣는다.

[실행2]

주머니 $\rm B$ 에서 임의로 $5$ 개의 공을 꺼내어 주머니 $\rm A$ 에 넣는다.

 

[실행 2]가 끝난 후 주머니 $\rm B$ 에 흰 공이 남아 있지 않을 때, [실행 1]에서 주머니 $\rm B$ 에 넣은 공 중 흰 공이 $2$ 개이었을 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

 

정답 $17$