함수의 증가, 감소와 미분_난이도 중하 (2022년 경찰대 23번)

최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $g(x)=\begin{cases}-x^2+2x+2 & (x<1) \\ f(x) & (x \ge 1)\end{cases}$ 이라 하자. 함수 $g(x)$ 가 $x=1$ 에서 연속이고, 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 모든 함수 $f(x)$ 에 대하여 $f(3)$ 의 최솟값을 구하시오. 

 

정답 $7$