수열의 합과 일반항과의 관계_난이도 중 (2022년 7월 전국연합 고3 12번)

첫째항이 $2$ 인 수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. 다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n \dfrac{3S_k}{k+2}=S_n$$ 이 성립할 때, $a_{10}$ 의 값을 구하는 과정이다.

 

$n \ge 2$ 인 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\begin{aligned}a_n &= S_n - S_{n-1} \\[10pt] &= \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{3S_k}{k+2} - \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{3S_k}{k+2} = \dfrac{3S_n}{n+2} \end{aligned}$$ 이므로 $3S_n = (n+2) \times a_n \; (n \ge 2)$ 이다.

$S_1 = a_1$ 에서 $3S_1 = 3a_1$ 이므로 $3S_n = (n+2) \times a_n \; (n \ge 1)$ 이다. $$\begin{aligned} 3a_n &= 3(S_n - S_{n-1}) \\ &= (n+2) \times a_n - \left ( \boxed{ (가) } \right ) \times a_{n-1} \; (n \ge 2)\end{aligned}$$ $$\dfrac{a_n}{a_{n-1}} = \boxed{ (나) } \; (n \ge 2)$$ 따라서 $$\begin{aligned} a_{10} &= a_1 \times \dfrac{a_2}{a_1} \times \dfrac{a_3}{a_2} \times \dfrac{a_4}{a_3} \times \cdots \times \dfrac{a_9}{a_8} \times \dfrac{a_{10}}{a_9} \\[10pt] &= \boxed{ (다) }\end{aligned}$$

 

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(n), \; g(n)$ 이라 하고, (다)에 알맞은 수를 $p$ 라 할 때, $\dfrac{f(p)}{g(p)}$ 의 값은?

 

① $109$          ② $112$          ③ $115$          ④ $118$          ⑤ $121$

 

정답 ①