이차방정식 만들기&이차방정식의 판별식&이차부등식_난이도 중상 (2022년 6월 전국연합 고1 18번)

그림과 같이 빗변의 길이가 $c$ 이고 둘레의 길이가 $10$ 인 직각삼각형 $\rm ABC$ 가 있다.

 

다음은 직각삼각형 $\rm ABC$ 의 빗변의 길이 $c$ 의 범위를 구하는 과정이다.

 

$\overline{\rm BC}=a, \; \overline{\rm CA}=b$ 라 하면 삼각형 $\rm ABC$ 의 둘레의 길이가 $10$ 이고 $\overline{\rm AB}=c$ 이므로 $$a+b=\boxed{ (가) } \cdots\cdots (1)$$ 이다. 삼각형 $\rm ABC$ 가 직각삼각형이므로 $a^2+b^2=c^2$ 에서 $$(a+b)^2-2ab=c^2 \cdots \cdots (2)$$이다. (1)을 (2)에 대입하면 $ab=\boxed{ (나) }$ 이다.

$a, \; b$ 를 두 실근으로 가지고 이차항의 계수가 $1$ 인 $x$ 에 대한 이차방정식은 $$x^2- \left ( \boxed{ (가) } \right )x + \boxed{ (나) } = 0 \cdots \cdots (3)$$ 이고, (3)의 판별식 $D \ge 0$ 이다.

빗면의 길이 $c$ 는 양수이므로 부등식 $D \ge 0$ 의 해를 구하면 $c \ge \boxed{ (다) }$ 이다. (3)의 두 실근 $a, \; b$ 는 모두 양수이므로 두 근의 합 $\boxed{ (가) }$ 와 곱 $\boxed{ (나) }$ 는 모두 양수이다. 따라서 빗변의 길이 $c$ 의 범위는 $\boxed{ (다) } \le c <5$ 이다.

 

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(c), \; g(c)$ 라 하고 (다)에 알맞은 수를 $k$ 라 할 때, $\dfrac{k}{25} \times f \left (\dfrac{9}{2} \right ) \times g\left ( \dfrac{9}{2} \right )$ 의 값은?

 

① $10\left (\sqrt{2}-1 \right )$          ② $11\left (\sqrt{2}-1 \right )$          ③ $12 \left ( \sqrt{2}-1 \right )$         

④ $10\left (\sqrt{2}+1 \right )$          ⑤ $11 \left ( \sqrt{2}+1 \right )$

 

정답 ②