정적분 형태로 정의된 함수&함수의 연속_난이도 상 (2022년 3월 전국연합 고3 22번)

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$와 최고차항의 계수가 $1$이고 상수항이 $0$인 삼차함수 $g(x)$가 있다. 양의 상수 $a$에 대하여 두 함수 $f(x), \; g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 모든 실수 $x$에 대하여 $x|g(x)|=\displaystyle \int_{2a}^x (a-t)f(t)dt$이다. 

(나) 방정식 $g(f(x))=0$의 서로 다른 실근의 개수는 $4$이다.

 

$\displaystyle \int_{-2a}^{2a}f(x)dx$의 값을 구하시오.

 

정답 $4$