내분점과 외분점_난이도 중 (2021년 11월 전국연합 고1 19번)

한 변의 길이가 $3$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. $0<k<1$ 인 실수 $k$ 에 대하여 두 선분 $\rm AB, \; BC$ 를 $(1-k):k$ 로 내분하는 점을 각각 $\rm P, \; Q$ 라 하고 두 선분 $\rm AB, \; BC$ 를 $k:(k+1)$ 로 외분하는 점을 각각 $\rm P', \; Q'$ 이라 하자. 삼각형 $\rm PBQ$ 의 넓이를 $S_1$, 삼각형 $\rm P'Q'B$ 의 넓이를 $S_2$ 라 할 때, 다음은 $S_1 : S_2 = 1:4$ 가 되도록 하는 $k$ 의 값을 구하는 과정이다.

 

두 선분 $\rm AB, \; BC$ 의 길이가 모두 $3$ 이므로 $$\overline{\rm AP}= \overline{\rm BQ} = \boxed{\text{ (가) }}, \quad \overline{\rm AP'} = \overline{\rm BQ'}=3k$$ 이다. 두 점 $\rm P, \; P'$ 에서 선분 $\rm BC$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm H, \; H'$ 이라 하면 두 삼각형 $\rm PBH$ 와 $\rm P'BH'$ 에서 $$\begin{aligned} \overline{\rm PH}:\overline{\rm P'H'} &= \overline{\rm PB}:\overline{\rm P'B} \\[10pt] &= \left \{ 3 - \left ( \boxed{\text{ (가) }} \right ) \right \}: \left ( \boxed{\text{ (나) }} \right ) \end{aligned}$$ 이므로 $$\begin{aligned}S_1 : S_2 &= \left ( \dfrac{1}{2} \times \overline{\rm BQ} \times \overline{\rm PH} \right ) : \left ( \dfrac{1}{2} \times \overline{\rm BQ'} \times \overline{\rm P'H'} \right ) \\[10pt] &= \left ( \overline{\rm BQ} \times \overline{\rm PB} \right ) : \left ( \overline{\rm BQ'} \times \overline{\rm P'B} \right ) \end{aligned}$$ 이다. 따라서 $k= \boxed {\text { (다) }}$ 이다. 

 

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(k), \; g(k)$ 라 하고 (다)에 알맞은 수를 $p$ 라 할 때, $f(p) \times g(p)$ 의 값은?

 

① $\dfrac{128}{25}$          ② $\dfrac{132}{25}$          ③ $\dfrac{136}{25}$          ④ $\dfrac{28}{5}$          ⑤ $\dfrac{144}{25}$

 

정답 ⑤