점과 직선 사이의 거리&두 직선의 수직 조건_난이도 중 (2020년 9월 전국연합 고1 18번)

그림과 같이 원 $x^2+y^2=1$ 과 직선 $y=ax \; (a>0)$ 이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 하고, 점 $\rm A$ 를 지나고 직선 $y=ax$ 에 수직인 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm C$ 라 하자.

다음은 점 ${\rm D}(0, \; -1)$ 에 대하여 두 삼각형 $\rm DAB$ 와 $\rm DCO$ 의 넓이를 각각 $S_1, \; S_2$ 라 할 때, $\dfrac{S_2}{S_1}=2$ 를 만족시키는 상수 $a$ 의 값을 구하는 과정이다. (단, $\rm O$ 는 원점이고, 점 $\rm A$ 의 $x$ 좌표는 양수이다.)

 

원 $x^2+y^2=1$ 과 직선 $y=ax$ 가 만나는 점 $\rm A$ 의 좌표는 $${\rm A} \left ( \boxed{ (가) }, \; a \times \boxed{ (가) } \right )$$ 이다. 

점 $\rm A$ 를 지나고 직선 $y=ax$ 에 수직인 직선을 $l$ 이라 하자. 직선 $l$ 의 방정식은 $$y=-\dfrac{1}{2}x + \boxed{ (나) }$$ 이다.

점 $\rm C$ 는 직선 $l$ 과 $x$ 축이 만나는 점이므로 점 $\rm C$ 의 좌표는 $${\rm C} \left ( \sqrt{a^2+1}, \; 0 \right ) $$ 이다.

점 ${\rm D}(0, \; -1)$ 과 직선 $\rm AB$ 사이의 거리를 $d$ 라 하면 $$S_1 = \dfrac{1}{2} \times \overline{\rm AB} \times d, \quad S_2 = \dfrac{1}{2} \times \overline{\rm OD} \times \overline{\rm OC}$$ 이다. 따라서 $\dfrac{S_2}{S_1} = 2$ 를 만족시키는 양수 $a$ 의 값은 $$a= \boxed{ (다) }$$ 이다.

 

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(a), \; g(a)$ 라 하고, (다)에 알맞은 수를 $k$ 라 할 때, $f(k) \times g(k)$ 의 값은?

 

① $\dfrac{5\sqrt{3}}{6}$          ② $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$          ③ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$          ④ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$          ⑤ $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$

 

정답 ④