삼차함수와 접선의 방정식&등비중항_난이도 상 (2021년 8월 교육청 고3 22번)

삼차함수 $f(x)$ 와 상수 $m \; (m<0)$ 에 대하여 실수 전체의 집합의 두 부분집합 $A, \; B$ 를 각각 $$\begin{aligned} A &= \{ x \; |\; f(x)=0\}, \\ B &= \{ x \; | \; f(x)=mx+m\} \end{aligned}$$ 이라 하자. 두 집합 $A, \; B$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $n(A)=n(B)$

(나) 서로 다른 세 실수 $\alpha_1, \; \alpha_2, \; \alpha_3 \; (\alpha_1 < \alpha_2 < \alpha_3)$ 에 대하여 $$ A \cup B = \{\alpha_1, \; \alpha_2, \; \alpha_3\}$$ $\quad$ 이고 $\alpha_2, \; \alpha_1, \; \alpha_3$ 은 이 순서대로 등비수열을 이룬다. 

 

$f'(\alpha_3)=-\dfrac{15}{2}$ 일 때, $f(m)=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

 

정답 $7$