벡터의 내적&벡터 종점의 자취_난이도 중상 (2021년 7월 사관학교 기하 30번)

좌표평면 위의 두 점 ${\rm A}(6, \; 0), \; {\rm B}(6, \; 5)$ 와 음이 아닌 실수 $k$ 에 대하여 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 

 

(가) $\overrightarrow{\rm OP} = k \left ( \overrightarrow{\rm OA} + \overrightarrow{\rm OB} \right )$ 이고 $\overrightarrow{\rm OP} \cdot \overrightarrow{\rm OA} \le 21$ 이다.

(나) $\left | \overrightarrow{\rm AQ}  \right | = \left | \overrightarrow{\rm AB} \right |$ 이고 $\overrightarrow{\rm OQ} \cdot \overrightarrow{\rm OA} \le 21$ 이다.

 

$\overrightarrow{\rm OX} = \overrightarrow{\rm OP} + \overrightarrow{\rm OQ}$ 를 만족시키는 점 $\rm X$ 가 나타내는 도형의 넓이는 $\dfrac{q}{p} \sqrt{3}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

 

정답 $37$