곱의 미분법&함수의 그래프와 미분_난이도 중상 (2021년 7월 경찰대 20번)

최고차항의 계수가 $1$ 인 두 이차다항식 $P(x), \; Q(x)$ 에 대하여 두 함수 $f(x)=(x+4)P(x)$, $g(x)=(x-4)Q(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $f'(-4) \ne 0, \; f(4) \ne 0, \; g(-4) \ne 0$

(나) 방정식 $f(x)g(x)=0$ 의 서로 다른 모든 해를 크기 순으로 나열한 $-4, \; a_1, \; a_2, \; a_3, \; 4$ 는 등차수열을 이룬다.

(다) $f'(a_i)=0$ 인 $i \in \{1, \; 2, \; 3\}$ 은 하나만 존재하고, 모든 $i \in \{1, \; 2, \; 3\}$에 대하여 $g'(a_i) \ne 0$ 이다.

두 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$ 가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 두 교점의 $x$ 좌표의 합은?

 

① $-\dfrac{1}{2}$          ② $-\dfrac{1}{4}$          ③ $0$          ④ $\dfrac{1}{4}$          ⑤ $\dfrac{1}{2}$

 

정답 ①