확률_난이도 중상 (2020년 9월 교육청 고3 가형 18번, 나형 19번)

자연수 $n$ 에 대하여 $1$ 부터 $(2n+1)$ 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $(2n+1)$ 개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 $3$ 개의 공을 동시에 꺼낼 때 공에 적혀 있는 세 수를 각각 $a, \; b, \; c\; (a<b<c)$ 라 하자. 다음은 세 수 $a, \; b, \; c$ 가 등식 $a+b=c$ 를 만족시킬 확률을 구하는 과정이다.

 

주머니에서 $3$ 개의 공을 동시에 꺼내는 경우의 수는 ${}_{2n+1} {\rm C}_3$ 이다.

세 수 $a, \; b, \; c\; (a<b<c)$ 가 등식 $a+b=c$ 를 만족시키는 사건을 $A$ 라 하고, $a+b=c$ 를 만족시키는 세 수 $a, \; b, \; c$ 를 순서쌍 $(a, \; b, \; c )$ 로 나타내면 자연수 $k$ 에 대하여 사건 $A$ 가 일어나는 경우는 다음과 같다.

$\cdot\; (a,\; b, \; c)$ 가 $(k, \; k+1, \; 2k+1)$ 꼴인 경우

   $k=1, \; 2, \; 3, \; \cdots, \; n$ 이므로 경우의 수는 $n$

$\cdot \; (a, \; b, \; c)$ 가 $(k, \; k+2, \; 2k+2)$ 꼴인 경우

   $k=1, \; 2, \; 3, \; \cdots, \; \boxed{ (가) }$ 이므로 경우의 수는 $\boxed{ (가) }$

      $\vdots$

$\cdot \; (a, \; b, \; c)$ 가 $(k, \; k+2n-2, \; 2k+2n-2)$ 꼴인 경우

   $k=1$ 이므로 경우의 수는 $1$

$\cdot \; (a, \; b, \; c)$ 가 $(k, \; k+2n-1, \; 2k+2n-1)$ 꼴인 경우

   $k=1$ 이므로 경우의 수는 $1$

따라서 사건 $A$ 가 일어나는 경우의 수는 $\boxed{ (나) }$ 이므로 

     ${\rm P}(A) = \dfrac{\boxed{ (다) }}{(2n-1)(2n+1)}$

이다.

 

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(n), \; g(n), \; h(n)$ 이라 할 때, $\dfrac{f(21)+h(20)}{g(20)}$ 의 값은?

 

① $\dfrac{1}{5}$          ② $\dfrac{2}{5}$          ③ $\dfrac{3}{5}$          ④ $\dfrac{4}{5}$          ⑤ $1$

 

정답 ①