도함수의 활용_접선의 방정식&최대최소와 미분_난이도 상 (2020년 9월 평가원 고3 가형 30번)

다음 조건을 만족시키는 실수 $a, \; b$ 에 대하여 $ab$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 하자.

모든 실수 $x$ 에 대하여 부등식 $$-e^{-x+1} \le ax+b \le e^{x-2}$$ 이 성립한다.

$\left | M \times m^3 \right | = \dfrac{q}{p} $ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

정답 $43$