(이과) 역함수의 미분과 적분_난이도 상

실수 전체에서 증가하는 함수 $f(x)$ 가 다음 세 조건을 만족시킨다.

(가) $f(0)=4, \; f(2)=e+4$

(나) $\displaystyle \int_0^2 f(x)\; dx = 2e+5$

(다) $f(x)=2f'(x)+\dfrac{1}{2} x +2$    

함수 $f(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, $\displaystyle \int_4^{e+4} \dfrac{1}{g'(x)} \; dx$ 의 값은?

① $\dfrac{1}{4} \left ( e^2 + 4e -4\right )$          ② $\dfrac{1}{4} \left ( e^2 + 4e -3 \right )$          ③ $\dfrac{1}{4} \left ( e^2 + 4e -2 \right )$ 

④ $\dfrac{1}{4} \left ( e^2 + 4e -1 \right )$          ⑤ $\dfrac{1}{4} \left ( e^2 + 4e \right )$

정답 ②