(이과) 함수의 그래프&방정식과 미분_난이도 상 (2018년 9월 평가원 가형 30번)

최고차항의 계수가 $\dfrac{1}{2}$ 이고 최솟값이 $0$ 인 사차함수 $f(x)$ 와 함수 $g(x)=2 x^4 e^{-x}$ 에 대하여 합성함수 $h(x)=(f \circ g)(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 $h(x)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $4$ 이다.

(나) 함수 $h(x)$ 는 $x=0$ 에서 극소이다.

(다) 방정식 $h(x)=8$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $6$ 이다.

$f'(5)$ 의 값을 구하시오. (단, $\lim \limits_{x \to \infty} g(x)=0$) 

정답 $30$