이항정리&부분집합 원소의 개수_난이도 상 (2018년 4월 교육청 나형 29번)

전체집합 $U=\{ x \; | \; x$ 는 10 이하의 자연수$\}$ 의 세 부분집합 $S_1, \; S_2, \; S_3$ 이 $$n(S_1) \ge 3, \;\; S_1 \subset S_2 \subset S_3$$ 을 만족시킨다. 다음은 집합 $S_1, \; S_2, \; S_3$ 의 모든 순서쌍 $(S_1, \; S_2, \; S_3)$ 의 개수를 구하는 과정이다.

$n(S_1)=k$  ($3 \le k \le 10$, $k$ 는자연수)인 집합 $S_1$ 의 개수는 전체집합 $U$ 의 원소 $10$ 개 중 서로 다른 $k$ 개를 선택하는 조합의 수와 같으므로 $ _{10}{\rm C}_k$ 이다.

또한 $S_1 \subset S_2 \subset S_3$ 이므로 집합 $S_1$ 에 속하지 않는 원소는 세 집합 $S_2-S_1,\; S_3 - S_2, \; U-S_3$ 중 어느 한 집합에 속해야 한다. 
그러므로 $n(S_1)=k$ 일 때 집합 $S_1, \;S_2, \; S_3$ 의 순서쌍 $(S_1, \; S_2, \; S_3)$ 의 개수는 $_{10} {\rm C}_k \times \boxed{\;(가)\;}$ 이다.  

따라서 $n(S_1) \ge 3, \; S_1 \subset S_2 \subset S_3$ 을 만족시키는 순서쌍 $(S_1, \; S_2, \; S_3)$ 의 개수는 이항정리에 의하여 $\sum \limits_{k=3}^{10} \left ( _{10}{\rm C}_k \times \boxed{\; (가) \; } \;\right ) = 4^{10} - \boxed{ \; (나) \; } \times 3^8 $ 

위의 (가)에 알맞은 식을 $f(k)$ , (나)에 알맞은 수를 $a$ 라 할 때, $a+f(8)$ 의 값을 구하시오.

정답 $93$