정적분으로 정의된 함수&함수의 그래프_난이도 상

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 두 실수 $a, \; b\; \left (0<b<\dfrac{\pi}{3} \right )$ 와 모든 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 구간 $[-b, \; b]$ 에서 $f(x) = \displaystyle \int_0^{\sin \left (x+\frac{\pi}{3} \right)} \left (t^2 - a \right )\; dt$ 이다.

(나) $f(x)+f(-x)=0, \;\; f'(x+2b)=f'(x)$

(다) 모든 실수 $t$ 에 대하여 방정식 $f(x)=t$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $3$ 이다.

구간 $[b, \; 3b]$ 에서 $f(x)$ 의 최댓값을 $M$ 이라 할 때, $aM=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 

정답 $25$