수열의 합 & 유리함수의 그래프_난이도 상 (2018년 3월 교육청 나형 30번)

$n$ 이 자연수일 때, 함수 $f(x)=\dfrac{x+2n}{2x-p}$ 이 $$f(1)<f(5)<f(3)$$ 을 만족시키도록 하는 자연수 $p$ 의 최솟값을 $m$ 이라 하자. 자연수 $n$ 에 대하여 $p=m$ 일 때의 함수 $f(x)$ 와 함수 $g(x)=\dfrac{2x+n}{x+q}$ 이 $$g(f(5))<g(f(3))<g(f(1))$$ 을 만족시키도록 하는 자연수 $q$ 의 개수를 $a_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{k=1}^{20}a_k$ 의 값을 구하시오. 

정답 $320$