(이과) 미분불가능 점&넓이와 적분_난이도 중상

정의역이 $\{x \; | \; 0 \le x \le 8 \}$ 이고 다음 조건을 만족시키는 연속함수 $f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^8 f(x)\; dx$ 의 최댓값은 $p+\dfrac{q}{\ln 2}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 자연수이고, $\ln 2$ 는 무리수이다.)

(가) $f(0)=1$ 이고 $f(8) \le 100$ 이다.

(나) $0 \le k \le 7$ 인 각각의 정수 $k$ 에 대하여 $$f(k+t)=f(k) \;\; (0<t \le 1)$$ 또는 $$f(k+t) = 2^t \times f(k) \;\; (0 < t\le 1)$$ 이다.

(다) 열린 구간 $(0, \; 8)$ 에서 함수 $f(x)$ 가 미분가능하지 않은 점의 개수는 $2$ 이다.

정답 $128$