(이과) 정사영&이면각의 크기_난이도 상

그림과 같이 평면 $\alpha \; : \; z=-2$ 와 중심이 ${\rm O}(0, \; 0, \; 0)$ 이고 반지름의 길이가 $4$ 인 구 $S$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 에 접하는 두 구 $S_1, \; S_2$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $S_1$ 의 반지름의 길이는 $3$ 이고, $S_2$ 의 반지름은 $S_1$ 의 반지름보다 크다.

(나) $S_1, \; S_2$ 는 모두 $S$ 에 외접한다.

(다) $S_1$ 은 $S_2$ 와 외접한다.

$S_1, \; S_2$  의 중심을 각각 $\rm O_1, \; O_2$ 라 할 때, 직선 $\rm O_1O_2$ 가 평면 $\alpha$ 와 이루는 예각 $\theta$ 에 대하여 $\sin \theta = \dfrac{1}{7}$ 이다. 삼각형 $\rm OO_1O_2$ 의 평면 $\sqrt{15}x+7z=1$ 위로의 정사영의 넓이의 최댓값이 $a$ 일 때, $a^2$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O_1$ 과 $\rm O_2$ 의 $z$ 좌표는 $-2$ 보다 크다.)

정답 $495$