이항계수의 성질_난이도 중 (2016년 9월 평가원 가형 17번, 나형 18번)

$1$ 부터 $n$ 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $n$ 장의 카드가 있다. 이 카드 중에서 임의로 서로 다른 $4$ 장의 카드를 선택할 때, 선택한 카드 $4$ 장에 적힌 수 중 가장 큰 수를 확률변수 $X$ 라 하자. 다음은 ${\rm E}(X)$ 를 구하는 과정이다. (단, $n \ge 4$)

자연수 $k\;(4 \le k \le n)$ 에 대하여 확률변수 $X$ 의 값이 $k$ 일 확률은 $1$ 부터 $k-1$ 까지의 자연수가 적혀 있는 카드 중에서 서로 다른 $3$ 장의 카드와 $k$ 가 적혀 있는 카드를 선택하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나누는 것이므로 

     ${\rm P}(X=k)= \dfrac{(가)}{_n {\rm C}_4}$

이다. 자연수 $r\; (1 \le r \le k)$ 에 대하여 

     $_k{\rm C}_r = \dfrac{k}{r} \times \;_{k-1}{\rm C}_{r-1}$

이므로

     $k \times (가) = 4 \times (나)$

이다. 그러므로

     $\begin{aligned} {\rm E}(x) &= \sum \limits_{k=4}^n \{ k \times {\rm P}(X=k)\} \\ &= \dfrac{1}{_n{\rm C}_4} \sum \limits_{k=4}^n (k \times (가)) \\ &= \dfrac{4}{_n{\rm C}_4} \sum \limits_{k=4}^n (나) \end{aligned}$

이다.

     $\sum \limits_{k=4}^n (나) = \;_{n+1}{\rm C}_5$

이므로 

     ${\rm E}(X)=(n+1) \times (다)$ 

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(k), \; g(k)$ 라 하고, (다)에 알맞은 수를 $a$ 라 할 때, $a \times f(6) \times g(5)$ 의 값은?

① $40$          ② $45$          ③ $50$          ④ $55$          ⑤ $60$

정답 ①