이항정리_이항계수_난이도 상 (2016년 8월 대구교육청 가형 17번)

다음은 다항식 $(2+3x)^{20}$ 을 전개한 식에서 계수가 가장 큰 항을 구하는 과정이다.

이항정리를 이용하면

$(2+3x)^{20} = \sum \limits_{r=0}^{20} \;_{20}{\rm C}_r \times 2^{20-r} \times (3x)^r$이므로 

$x^r$ 의 계수를 $a_r\; (r=0, \;1, \;2, \; \cdots, \; 20)$ 라 하면

$a_r= \;_{20} {\rm C} _r \times 2 ^{20-r} \times 3^r$

이다.

$\dfrac{a_{r+1}}{a_r}=(가)\; (r=0, \;1, \;2, \; \cdots, \; 19)$ 

이므로

          $\vdots$

$r$ 의 값이 $(나)$ 일 때, $a_r$ 의 값이 최대이다. 

위의 과정에서 (가)에 알맞은 식을 $f(r)$이라 하고, (나) 에 알맞은 수를 $k$ 라 할 때, $f(5) \times k$ 의 값은?

① $25$         ② $30$          ③ $35$          ④ $40$          ⑤ $45$

 

정답 ⑤