정적분으로 표현된 함수_난이도 상

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 상수 $a \; (0<a<2 \pi)$ 와 모든 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(x)=f(-x)$

(나) $ \displaystyle \int _x ^{x+a} f(t) dt = \sin \left ( x + \dfrac{\pi}{3} \right ) $

닫힌 구간 $ \left [ 0, \;\dfrac{a}{2} \right ]$ 에서 두 실수 $b, \;c$ 에 대하여 $f(x)=b \cos (3x) + c \cos (5x)$ 일 때, $abc=-\dfrac{q}{p}\pi$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

정답 $83$