절대부등식

절대부등식

$\mathbf{ a+b+c \ge 3 \sqrt[3]{abc}}$ (단, $a>0, \; b>0, \; c>0$)의 증명

$\sqrt[3]{a}=A, \; \sqrt[3]{b}=B, \; \sqrt[3]{c}=C$ 라고 하면 주어진 식은 $$A^3 + B^3 + C^3 \ge 3ABC\;\; (단, \; A>0, \; B>0, \; C>0)$$ 가 된다. 이제 인수분해 공식 $x^3 +y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z) \left (x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx \right )$ 를 이용하여 다음과 같이 주어진 식을 바꿀 수 있다. $$ A^3+B^3+C^3-3ABC = (A+B+C) \left ( A^2 +B^2 +C^2 -AB-BC-CA \right ) $$ 이때, $A+B+C > 0 $ 이고 $$ \begin{aligned}2 \left (A^2 +B^2+C^2-AB-BC-CA \right ) &=  2A^2 +2B^2 +2C^2 -2AB -2BC -2CA  \\ &=  A^2 -2AB+B^2 + B^2 -2BC +C^2 +C^2 - 2CA +A^2  \\ &= (A-B)^2 + (B-C)^2 + (C-A)^2 \\ &\ge 0 \end{aligned}$$ 이므로 $A^2 + B^2 +C^2 -AB - BC - CA \ge 0$ 이 성립한다. (단, 등호는 $A=B=C$ 일 때 성립)

결국 $A+B+C>0$ 이고 $A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA \ge 0$ 이므로 $$(A+B+C) \left (A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA \right ) = A^3+B^3+C^3 -3ABC \ge 0$$ 이 되고, 최종적으로 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다. $$a+b+c \ge \sqrt[3]{abc} \;\; (단, \; 등호는 \; a=b=c일 \; 때 \; 성립)$$

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