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절대부등식 본문

(9차) 수학 II 개념정리

절대부등식

수악중독 2016. 4. 8. 11:21
절대부등식



a+b+c3abc3\mathbf{ a+b+c \ge 3 \sqrt[3]{abc}} (단, a>0,  b>0,  c>0a>0, \; b>0, \; c>0)의 증명


a3=A,  b3=B,  c3=C\sqrt[3]{a}=A, \; \sqrt[3]{b}=B, \; \sqrt[3]{c}=C 라고 하면 주어진 식은 A3+B3+C33ABC    (,  A>0,  B>0,  C>0)A^3 + B^3 + C^3 \ge 3ABC\;\; (단, \; A>0, \; B>0, \; C>0) 가 된다. 이제 인수분해 공식 x3+y3+z33xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2xyyzzx)x^3 +y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z) \left (x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx \right ) 를 이용하여 다음과 같이 주어진 식을 바꿀 수 있다. A3+B3+C33ABC=(A+B+C)(A2+B2+C2ABBCCA) A^3+B^3+C^3-3ABC = (A+B+C) \left ( A^2 +B^2 +C^2 -AB-BC-CA \right ) 이때, A+B+C>0A+B+C > 0 이고 2(A2+B2+C2ABBCCA)= 2A2+2B2+2C22AB2BC2CA = A22AB+B2+B22BC+C2+C22CA+A2 =(AB)2+(BC)2+(CA)20 \begin{aligned}2 \left (A^2 +B^2+C^2-AB-BC-CA \right ) &=  2A^2 +2B^2 +2C^2 -2AB -2BC -2CA  \\ &=  A^2 -2AB+B^2 + B^2 -2BC +C^2 +C^2 - 2CA +A^2  \\ &= (A-B)^2 + (B-C)^2 + (C-A)^2 \\ &\ge 0 \end{aligned} 이므로 A2+B2+C2ABBCCA0A^2 + B^2 +C^2 -AB - BC - CA \ge 0 이 성립한다. (단, 등호는 A=B=CA=B=C 일 때 성립)

결국 A+B+C>0A+B+C>0 이고 A2+B2+C2ABBCCA0A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA \ge 0 이므로 (A+B+C)(A2+B2+C2ABBCCA)=A3+B3+C33ABC0(A+B+C) \left (A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA \right ) = A^3+B^3+C^3 -3ABC \ge 0 이 되고, 최종적으로 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다. a+b+cabc3    (,  등호는  a=b=c    성립)a+b+c \ge \sqrt[3]{abc} \;\; (단, \; 등호는 \; a=b=c일 \; 때 \; 성립)

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