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수악중독
수학1_수열_점화식_난이도 중 본문
모든 항이 양수인 수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1 = \dfrac{1}{4}\) 이고 \[ (n+1)a_n=a_{n+1}(3n-2a_n) \; ( n \ge 1)\] 을 만족시킨다. 다음은 일반항 \(a_n\) 을 구하는 과정이다.
주어진 식의 양변을 \(a_n a_{n+1}\) 로 나누면
\(\dfrac{n+1}{a_{n+1}}=\dfrac{3n-2a_n}{a_n}\)
이다. \(b_n=\dfrac{n}{a_n}\) 이라 하면
\(b_{n+1}=3b_n + (가) \)
이고, \(b_{n+1}-1=3(b_n-1)\) 이다.
\(b_1=4\) 이므로 \(b_n= (나)\)
\(b_n = (나) +1\)
이다. 그러므로
\(a_n=\dfrac{n}{(나)+1} \; (n\ge 1)\)
이다.
위의 (가)에 알맞은 값을 \(p\), (나)에 알맞은 식을 \(f(n)\) 이라 할 때, \(p+f(3)\) 의 값은?
① \(24\) ② \(25\) ③ \(26\) ④ \(27\) ⑤ \(28\)
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