기하와 벡터_공간도형_직선과 평면이 이루는 각_난이도 중

그림과 같이 밑면의 반질므의 길이가 $5$ 인 원기둥이 평면 $\alpha$ 위에 놓여 있고, 원기둥의 내부에 중심이 점 $\rm A$ 이고 반지름의 길이가 $3$ 인 구 $S_1$ 이 원기둥의 밑면과 옆면에 내접하며 놓여있다. 평면 $\alpha$ 와 만나는 원기둥의 밑면의 중심을 $\rm O$ 라 할 때, 중심이 $\rm B$ 이고 반지름의 길이가 $2$ 인 구 $S_2$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 구 $S_2$ 는 원기둥과 구 $S_1$ 에 모두 접한다.

(나) 두 점 $\rm A, \;B$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영이 각각 $\rm A', \; B'$ 일 때, $\angle \rm A'OB'=120^{\rm o}$ 이다.

 

직선 $\rm AB$ 와 평면 $\alpha$ 가 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $\tan^2 \theta=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

 

 

정답 $25$