수학1_수열_점화식_빈칸채우기_난이도 중

첫째항이 $1$ 인 수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $S_n=\sum \limits_{k=1}^{n}a_k$ 라 할 때, $nS_{n+1} =(n+2)S_n +(n+1)^3 \;\; (n \geq 1)$ 이 성립한다. 다음은 수열 $\{a_n\}$ 의 일반항을 구하는 과정의 일부이다.

 

자연수 $n$ 에 대하여 $S_{n+1}=S_n +a_{n+1}$ 이므로 $n a_{n+1} = 2S_n +(n+1)^3 \cdots\cdots ㉠$ 이다. $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $(n-1)a_n=2S_{n-1}+n^3 \cdots\cdots ㉡$이고, ㉠에서 ㉡을 뺀 식으로부터

$na_{n+1}=(n+1)a_n + (가)$

를 얻는다. 양변을 $n(n+1)$ 로 나누면

$\dfrac{a_{n+1}}{n+1} = \dfrac{a_n}{n} + \dfrac{(가)}{n(n+1)}$

이다. $b_n = \dfrac{a_n}{n}$ 이라 하면 $b_{n+1} =b_n +3+(나) \;\; (n \geq 2)$이므로 $b_n = b_2+(다)\;\;(n \geq 3)$ 이다. $\vdots$

 

위의 (가), (나), (다) 에 들어갈 식을 각각 $f(n), g(n), h(n)$ 이라 할 때, $\dfrac{f(3)}{g(3)h(6)}$ 의 값은?

 

① $30$          ② $36$          ③ $42$          ④ $48$          ⑤ $54$         

 

 

정답 ②