수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 중

직사각형 \(\rm A_1 B_1 C_1 D_1\) 에서 \(\overline{\rm A_1 B_1} =1,\; \overline{\rm A_1 D_1}=2\) 이다. 그림과 같이 선분 \(\rm A_1 D_1\) 과 선분 \(\rm B_1 C_1\) 의 중점을 각각 \(M_1, \; N_1\) 이라 하자. 중심이 \(\rm N_1\), 반지름의 길이가 \(\overline{\rm B_1 N_1}\) 이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{2}\) 인 부채꼴 \(\rm N_1 M_1 B_1\) 을 그리고, 중심이 \(\rm D_1\), 반지름의 길이가 \(\overline{\rm C_1 D_1}\) 이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{2}\) 인 부채꼴 \(\rm D_1 M_1 C_1\) 을 그린다. 부채꼴 \(\rm N_1 M_1 B_1\) 의 호 \(\rm M_1 B_1\) 과 선분 \(\rm M_1 B_1\) 로 둘러싸인 부분과 부채꼴 \(\rm D_1 M_1 C_1\) 의 호 \(\rm M_1 C_1\) 과 선분 \(\rm M_1 C_1\) 로 둘러싸인 부분인 아래 그림과 같은 모양에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_1\) 이라 하자. 

그림 \(R_1\) 에 선분 \(\rm M_1 B_1\) 위의 점 \(\rm A_2\), 호 \(\rm M_1 C_1\) 위의 점 \(\rm D_2\) 와 변 \(\rm B_1 C_1\) 위의 두 점 \(\rm B_2 ,\; C_2\) 를 꼭짓점으로 하고 \(\overline{\rm A_2 B_2} : \overline{\rm A_2 D_2} =1:2\) 인 직사각형 \(\rm A_2 B_2 C_2 D_3\) 를 그리고, 직사각형 \(\rm A_2 B_2 C_2 D_2\) 에서 그림 \(R_1\) 을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 위 그림과 같은 모양에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_2\) 라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 그림 \(R_n\) 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} S_n\) 의 값은?

① \(\dfrac{25}{19} \left ( \dfrac{\pi}{2} -1 \right )\)          ② \(\dfrac{5}{4} \left ( \dfrac{\pi}{2} -1 \right )\)          ③ \(\dfrac{25}{21} \left ( \dfrac{\pi}{2} -1 \right )\)      

   

④ \(\dfrac{25}{22} \left ( \dfrac{\pi}{2} -1 \right )\)          ⑤ \(\dfrac{25}{23} \left ( \dfrac{\pi}{2} -1 \right )\)         

 

 

정답 ③