수학1_수학적 귀납법_난이도 중

다음은 수열 $\{a_n \}$ 에서 일반항 $a_n$ 이 $a_n = \sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{1}{k}$ 일 때, $n \geq 2$ 인 모든 자연수에 $n$ 에 대하여 $n + a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} = n a_n$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다.

 

i) $n =2$ 일 때,

    $(좌변)=2+ \dfrac{1}{1} = 3 , \; (우변) = 2 \left( 1 + \dfrac{1}{2} \right) = 3$ 이므로, 주어진 식이 성립한다.

 

ii) $n=k \; ( k \geq 2 )$ 일 때, 주어진 식이 성립한다고 가정하면

    $k + a_1 + a_2 + \cdots + a_{k-1} = ka_k \; \cdots \cdots$ ㉠

이 때, 식 ㉠의 좌변에 $1 + a_k$ 를 더하면

    $k + 1 + a_1 + a_2 + \cdots + a_{k-1} + a_k = (가) + 1 + a_k$

    $= (k+1) a_k + 1$

    $= (k+1)( \; (나) \; ) + 1$

    $= (k+1)a_{k+1}$

  따라서, $n=k+1$ 일 때도 주어진 식이 성립한다.

 

  그러므로 i), ii)에 의하여

    $n+a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} = na_n$

은 $n \geq 2$ 인 모든 자연수 $n$ 에 대하여 성립한다.

 

위의 과정에서 (가), (나) 에 알맞은 것은?

 

	$(가)$	$(나)$
①	$k a_k$	$a_k + \dfrac{1}{k+1}$
②	$k a_k$	$a_{k+1} - \dfrac{1}{k+1}$
③	$k a_k$	$a_{k+1} + \dfrac{1}{k+1}$
④	$(k+1) a_k$	$a_k + \dfrac{1}{k+1}$
⑤	$(k+1) a_k$	$a_{k+1} - \dfrac{1}{k+1}$

 

 

 

 

정답 ②