수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 상

그림과 같이 한 변의 길이가 \(2\) 인 정사각형을 넓이가 같은 \(4\) 개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가 \(1\) 인 사분원 \(2\) 개의 외부(어두운 부분)를 자라낸 후 남은 도형을 \(T_1\) 이라 하자. \(T_1\) 에서 한 변의 길이가 \(1\) 인 정사각형 \(2\) 개를 각각 넓이가 같은 \(4\) 개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가 \(\dfrac{1}{2}\) 인 사분원 \(4\) 개의 외부(어두운 부분)를 잘라낸 후 남은 도형을 \(T_2\) 라 하자. \(T_2\) 에서 한 변의 길이가 \(\dfrac{1}{2}\) 인 정사각형 \(4\) 개를 각각 넓이가 같은 \(4\) 개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가 \(\dfrac{1}{4}\) 인 사분원 \(8\) 개의 외부(어두운 부분)를 잘라낸 후 남은 도형을 \(T_3\) 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 도형을 \(T_n\) 이라 하고 그 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} S_n\) 의 값은?

 

① \(\dfrac{\pi}{2}\)          ② \(\dfrac{2}{3} \pi\)          ③ \(\dfrac{3}{4} \pi\)          ④ \(\pi\)          ⑤\(\dfrac{5}{4} \pi\)

정답 ④