기하와 벡터_벡터_벡터의 덧셈_난이도 중

 

오른쪽 그림과 같이 정오각형 $\rm ABCDE$ 에서 $\overrightarrow {\rm AB}=\overrightarrow {a},\; \overrightarrow {\rm BC} = \overrightarrow {b}$ 라 할 때, $\overrightarrow {\rm AE}$ 를 $\overrightarrow {a},\;\overrightarrow{b}$ 로 표현하려고 한다.
다음 풀이 과정에 있는 (   )의 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 쓴 것은?
 

 

대각선 $\rm AC$ 와 $\rm BE$ 의 교점을 $\rm P$ 라 하자.
삼각형 $\rm ACE$ 와 삼각형 $\rm PEA$ 는 닮은 삼각형 이므로 정오각형의 한 변의 길이를 $a$, $\overline {\rm EC} =x$ 라 하면 변 $\rm EC$ 의 길이 $x$ 는 방정식 (가)$=0$ 의 근이다.
따라서 $\overrightarrow{\rm AE}=\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CE}= (나) \overrightarrow{a}+(다) \overrightarrow{b}$

 
① $x^2 -ax-a^2$,  $\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}$,  $1$          ② $x^2 -ax-a^2$,  $- \displaystyle \frac{2}{5}$,  $\displaystyle \frac{3}{5}$

③ $x^2 -ax-3a^2$,  $- \displaystyle \frac{2}{5}$,  $\displaystyle \frac{3}{5}$          ④ $x^2 -ax-a^2$,  $- \displaystyle \frac{2}{5}$,  $1$

⑤ $x^2 -ax-a^2$,  $\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}$,  $\displaystyle \frac{3}{5}$

정답 ①