
벡터의 외적은 a×b라고 쓰고 다음과 같이 정의된다.
a ×b =(∣∣∣∣a∣∣∣∣∣∣∣∣b∣∣∣∣sinθ)n
위 식에서 θ는 a와 b가 이루는 각을 나타내며, n은 a와 b 모두에 수직인 단위벡터 중 오른손의 네 손가락을 a 에서 b쪽으로 감았을 때, 엄지가 가리키는 방향의 단위벡터를 나타낸다.

따라서 벡터의 외적은 스칼라가 되는 내적과는 달리 그 결과가 여전히 크기와 방향을 갖는 벡터의 형태로 나타나고, 교환법칙, 결합법칙이 성립하지 않는다.
a ×b = −b ×a
a ×(b ×c)= (a ×b)×c
또한 다음 그림처럼 좌표공간에서의 x,y,z축의 양의 방향을 나타내는 단위벡터를 각각 i,j,k라고 할 때, 이들 세 벡터 사이에서는 분배법칙이 성립함을 알 수 있다.

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i ×j =(∣∣∣∣i∣∣∣∣∣∣∣∣j∣∣∣∣sin90o)k=k
벡터 외적의 분배법칙 i ×(j + k)=i ×j +i ×k |
따라서 다음과 같이 성분으로 주어진 두 벡터의 외적을 계산할 수 있다.
a =(a1,a2,a3),b =(b1,b2,b3)
a =a1i +a2j +a3k,b =b1i +b2j +b3k
a×b=(a1i+a2j+a3k)×(b1i+b2j+b3k)=a1b1(i×i)+a1b2(i×j)+a1b3(i×k)+a2b1(j×i)+a2b2(j×j)+a2b3(j×k)+a3b1(k×i)+a3b2(k×j)+a3b3(k×k)=(a2b3−a3b2)i+(a3b1−a1b3)j+(a1b2−a2b1)k
∵ i×i=0,j×j=0,k×k=0i×j=k,j×k=i,k×i=j
∴a ×b =(a2b3−a3b2,a3b1−a1b3,a1b2−a2b1)
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벡터의 외적은 두 벡터가 이루는 평면에 수직이고 그 크기가 두 벡터의 크기에 두 벡터가 이루고 있는 각의 싸인값을 곱한 것이 되므로 수능 수학에서는 다음과 같이 활용될 수 있다.
공간에서 세 점 A(0,0,0),B(1,2,3),C(−2,1,3)를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구하시오.
공간에서 세 점 A(0,0,0),B(1,,2,3), C(−2,1,3)를 지나는 평면의 방정식을 구하시오.