수악중독

최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x)=\displaystyle \int_0^x f(t) dt $$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(9)$ 의 값을 구하시오. $x \ge 1$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(x) \ge g(4)$ 이고 $|g(x)| \ge |g(3)|$ 이다. 더보기 정답 $39$

두 상수 $a, \; b \; (b \ne 1)$ 과 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 도함수 $g'(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (나) $|x| \lt 2$ 일 때, $g(x)=\displaystyle \int_0^x (-t+a) dt$ 이고 $|x| \ge 2$ 일 때, $|g'(x)| = f(x)$ 이다. (다) 함수 $g(x)$ 는 $x=1$, $x=b$ 에서 극값을 갖는다. $g(k)=0$ 을 만족시키는 모든 실수 $k$ 의 값의 합이 $p+q\sqrt{3}$ 일 때, $p \times q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 유리수이다.) 더보기 정답 $32$

최고차항의 계수가 $1$ 이고 $f(0)=0$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\dfrac{\displaystyle \int_0^x | f'(t) | dt}{x}$$ 라 하자. 함수 $f(x)$ 가 $x=1$ 에서 극대일 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $\lim \limits_{x \to 0+} g(x) >3$ ㄴ. 함수 $f(x)$ 의 극댓값이 $\dfrac{5}{2}$ 보다 크면 $f(1)-g(2)=1$ 이다. ㄷ. 함수 $f(x)$ 의 극솟값이 $0$ 이면 등식 $g(x)=n \times g(3)$ 을 만족시키는 $0

양수 $t$ 에 대하여 $x=0$ 에서 $x=t$ 까지의 곡선 $y=\dfrac{4}{3}x \sqrt{x}$ 의 길이를 $l(t)$ 라 하자. $l'(\alpha)=3$ 일 때, $l(3\alpha)$ 의 값은? (단, $\alpha$ 는 $\alpha>0$ 인 상수이다.) ① $\dfrac{62}{3}$ ② $\dfrac{64}{3}$ ③ $22$ ④ $\dfrac{68}{3}$ ⑤ $\dfrac{70}{3}$ 더보기 정답 ①

함수 $f(x)= \displaystyle \int_0^x (a-t)e^t dt$ 가 $x=1$ 에서 극값 $b$ 를 가질 때, $a+b$ 의 값은? (단, $a, \; b$ 는 상수이다.) ① $e-3$ ② $e-2$ ③ $e-1$ ④ $e$ ⑤ $e+1$ 더보기 정답 ③

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\pi^2}{n^2} \sum \limits_{k=1}^n k \sin \dfrac{k\pi}{n}$ 의 값은? ① $\pi-2$ ② $\pi-1$ ③ $\pi$ ④ $\pi+1$ ⑤ $\pi+2$ 더보기 정답 ③

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 $xf'(x)+f(x)=3x^2\ln x + x^2-2x$ 를 만족시킨다. $f(1)=-1$ 일 때, $f(e)$ 의 값은? ① $e^2-e$ ② $2e^2-e$ ③ $2e^2-2e$ ④ $e^2+e$ ⑤ $2e^2+e$ 더보기 정답 ①

그림과 같이 곡선 $y=\sqrt{x} \ln x$ 와 $x$ 축 및 두 직선 $x=e, \; x=e^2$ 으로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 반원인 입체도형의 부피가 $\dfrac{pe^4+qe^2}{32}\pi$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $4$

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} 2 \cos 2x \sin ^2 2x dx$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{9}$ ② $\dfrac{1}{6}$ ③ $\dfrac{2}{9}$ ④ $\dfrac{5}{18}$ ⑤ $\dfrac{1}{3}$ 더보기 정답 ⑤

그림과 같이 곡선 $y=\sqrt{\dfrac{3x+1}{x^2}} \; (x>0)$ 과 $x$ 축 및 두 직선 $x=1, \; x=2$ 로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하고 $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형이니 입체도형의 부피는? ① $3\ln 2$ ② $\dfrac{1}{2}+3\ln 2$ ③ $1+3\ln 2$ ④ $\dfac{1}{2}+4 \ln 2$ ⑤ $1+4 \ln 2$ 더보기 정답 ②