수악중독

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$ 와 함수 $g(x)=e^{\sin \pi x}-1$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함성합수 $h(x)=g(f(x))$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $h(x)$ 는 $x=0$ 에서 극댓값 $0$ 을 갖는다. (나) 열린구간 $(0, \; 3)$ 에서 방정식 $h(x)=1$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $7$ 이다. $f(3)=\dfrac{1}{2}$, $f'(3)=0$ 일 때, $f(2)=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $31$

닫힌구간 $[0, \; 4\pi]$ 에서 연속이고 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 $f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^{4\pi} |f(x)|dx$ 의 최솟값은? (가) $0 \le x \le \pi$ 일 때, $f(x)=1-\cos x$ 이다. (나) $1 \le n \le 3$ 인 각각의 자연수 $n$ 에 대하여 $$f(n\pi+t)=f(n\pi)+f(t) \quad (0

최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $$g(x)=\ln \{f(x)+f'(x)+1\}$$ 이 있다. 상수 $a$ 와 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(x)>0$이고 $\displaystyle \int_{2a}^{3a+x}g(t)dt = \int_{3a-x}^{2a+2} g(t)dt$이다. (나) $g(4)=\ln 5$ $\displaystyle \int_3^5 \{f'(x)+2a\}g(x)dx = m+n \ln 2$ 일 때, $m+n$ 의 값을 구하시오. (단, $m, \; n$ 은 정수이고, $\ln 2$ 는 무리수이다.) 더보기 정답 $12$

사차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(2)$ 의 값은? (가) $f(0)=2$ 이고, $f'(4)=-24$ 이다. (나) 부등식 $xf'(x)>0$ 을 만족시키는 모든 실수 $x$ 의 값의 범위는 $1

$0

최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 와 구간 $(0, \; \infty)$ 에서 $g(x) \ge 0$ 인 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $x \le -3$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x) \ge f(-3)$ 이다. (나) $x>-3$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(x+3) \{f(x)-f(0) \}^2 = f'(x)$ 이다. $\displaystyle \int_4^5 g(x)dx = \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $283$

실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(-x)=f(x)$ (나) $f(x+2)=f(x)$ $\displaystyle \int_{-1}^5 f(x)(x+\cos2\pi x )dx = \dfrac{47}{2}, \; \int_0^1 f(x)dx = 2$ 일 때, $\displaystyle \int_0^1 f'(x) \sin 2\pi x dx$ 의 값은? ① $\dfrac{\pi}{6}$ ② $\dfrac{\pi}{4}$ ③ $\dfrac{\pi}{3}$ ④ $\dfrac{5}{12}\pi$ ⑤ $\dfrac{\pi}{2}$ 더보기 정답 ①

양수 $a$ 와 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x)=\displaystyle \int_0^x \left \{ f'(t+a) \times f'(t-a) \right \} dt $$가 다음 조건을 만족시킨다. 함수 $g(x)$ 는 $x=\dfrac{1}{2}$ 와 $x=\dfrac{13}{2}$ 에서만 극값을 갖는다. $f(0)=-\dfrac{1}{2}$ 일 때, $a \times f(1)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $30$

실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(1)=1, \; \displaystyle \int_1^2 f(x) dx = \dfrac{5}{4}$ (나) 함수 $f(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, $x \ge 1$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(2x)=2f(x)$ 이다. $\displaystyle \int_1^8 xf'(x) dx = \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $143$

함수 $f(x)=\sin (ax) \; (a \ne 0)$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 $a$ 의 값의 합을 구하시오. (가) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{a}} f(x) dx \ge \dfrac{1}{2}$ (나) $0