수악중독

한 변의 길이가 \(1\) 인 정\(n\)각형의 꼭짓점에 못을 박아 놓는다. 실을 한 꼭짓점에 고정시켜 길이가 \(n\) 이 되도록 잡고 한 변의 연장선 방향으로 팽팽하게 당긴 후 실의 끈의 이동거리가 최소가 되도록 정\(n\)각형의 둘레로 한 바퀴 돌릴 때, 실이 움직인 영역의 넓이를 \(S_n\) 이라 하자. 예를 들어, \(S_3\) 는 그림과 같이 정삼각형의 한 꼭짓점에 고정시킨 길이가 \(3\) 인 실을 잡고 정삼각형 둘레로 한 바퀴 돌릴 때 실이 움직인 영역의 넓이를 나타낸다. 이때, \(S_{20}\) 의 값은? (단, 실과 못의 굵기는 고려하지 않는다.) ① \({\displaystyle \frac{287}{2}}\pi\) ② \({\displaystyle \frac{289}{2}}\pi\..