수악중독

$f(0)=0$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 도함수 $y=f'(x)$ 의 그래프가 그림과 같다.실수 $k$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\left \{ \begin{array}{cc} (x-k)+f(k) & (x \le k) \\ f(x) & (x>k) \end{array}\right .$$ 라 하자. $x\le k$ 에서 두 함수 $y=f(x)$ , $y=g(x)$ 의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수를 $h(k)$ 라 할 때, $\sum \limits_{k=1}^7 h(k)$ 의 값은? (단, $f'(0)=1, \; f'(1)=f'(3)=0$) ① $10$ ② $11$ ③ $12$ ④ $13$ ⑤ $14$ 정답 ⑤

$k$ 가 양의 상수일 때, 함수 $f(x)=k(x-2)e^{-x}$ 과 실수 $m$ 에 대하여 집합 $S$ 를 $$S=\left \{t \; \big | \; f(t)-mt=0, \; t는 \; 양의 \; 실수\right \}$$ 라 하고, 집합 $S$ 의 원소의 개수를 $g(m)$ 이라 하자. 함수 $g(x)$ 는 $x=m_1$ 에서 불연속이고 함수 $f(x)g(x)$ 는 $x=m_1$ 에서 연속일 때, $f \left ( 1 + \sqrt{3} \right )$ 의 값은? ① $1+\sqrt{3}$ ② $2 \left (1 + \sqrt{3} \right )$ ③ $3 \left (1 + \sqrt{3} \right )$ ④ $-1 + \sqrt{3} $ ⑤ $2 \left (-1 + \sqrt{3..

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \dfrac{a \ln x}{x}$ 가 있다. 곡선 $y=f(x)$ 에 접하는 직선 중 $y$ 절편이 최대인 직선을 $l$ 이라 할 때, 직선 $l$ 의 기울기가 $-1$ 이다. 곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $l$ 및 $x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 $\dfrac{q}{p}e^3$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 는 양수이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $31$

$a>1$ 인 상수 $a$ 에 대하여 두 곡선 $y=a^x$ 과 $y= \left(\dfrac{1}{2} \right ) ^{x-2}$ 이 점 $\rm P$ 에서 만난다. 점 $\rm P$ 에서 $y=a^x$ 과 접하는 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm A$, 점 $\rm P$ 에서 $y=\left( \dfrac{1}{2} \right )^{x-2}$ 과 접하는 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm B$, 점 $\rm P$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하자. $3 \overline{\rm AH}=\overline{\rm BH}$ 일 때, $a$ 의 값은? ① $4$ ② $5$ ③ $6$ ④ $7$ ⑤ $8$ 정답 ⑤