수악중독

자연수 \(n\) 에 대하여 \(f_n (x)= \displaystyle \int x(x+1)^n dx,\;\; f_n (-1) =0\) 일 때, \(\sum \limits _{n=1}^{6} f_n (1)\) 의 값을 구하시오.

함수 \(f_n (x)= \left ( nx - \sum \limits _{k=1}^{n} a_k \right ) ^2 \) 가 \({\displaystyle \int} _{0}^{1} f_n ' (x) dx = -n^3\) 을 만족할 때, 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, \(a_1 ,\; a_2 ,\; a_3 ,\; \cdots , \; a_n \) 은 상수) ㄱ. \(\sum \limits _{k=1}^{n} a_k = {\Large \frac {n(n+1)}{2}}\) ㄴ. \(f_2 (2) =3\) ㄷ. \({\displaystyle \int} _{0}^{n+1} f_n (x) dx = 2 {\displaystyle \int }_{0}^{\frac {n+1}{2}} f_n (x) dx\) ..