수악중독

자연수 $n$ 에 대하여 $2a+2b+c+d=2n$ 을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a, \; b, \; c, \; d$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c, \; d)$ 의 개수를 $a_n$ 이라 하자. 다음은 $\sum \limits_{n=1}^8 a_n$ 의 값을 구하는 과정이다. 음이 아닌 정수 $a, \; b, \; c, \; d$ 가 $2a+2b+c+d=2n$ 을 만족시키려면 음이 아닌 정수 $k$ 에 대하여 $c+d=2k$ 이어야 한다. $c+d=2k$ 인 경우는 (1) 음이 아닌 정수 $k_1, \; k_2$ 에 대하여 $c=2k_1, \; d=2k_2$ 인 경우이거나 (2) 음이 아닌 정수 $k_3, \; k_4$ 에 대하여 $c=2k_3+1, \; d=2k_4 +1$ 인 경우이..

집합 $\rm U=\{1, \; 2, \; 3, \; \cdots, \; 2017 \}$ 에 대하여 $\rm U$ 의 부분집합 $\rm A, \; B, \; C$ 의 관계가 아래 벤 다이어그램과 같다고 할 때, 부분집합 $\rm A, \; B, \; C$ 를 구성할 수 있는 방법의 수는? (단, $\rm A, \; B, \; C$ 는 모두 공집합이 아니다.)① $3^{2016} - 2^{2017} +1$② $3^{2017} - 2^{2017} +1$③ $3^{2017} - 2^{2018} +1$④ $3^{2018} - 2^{2017} +1$⑤ $3^{2018} - 2^{2018} +1$ 정답 ③ 첫 번째 방법먼저 전체 집합의 영역을 세 개로 나누자.먼저 집합 $\rm A-C$ 가 나타내는 영역을 $a$ ..

$1$부터 $15$까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 정육면체 모양의 검은 블록 $6$ 개와 흰 블록 $9$ 개가 있다. 이 $15$ 개의 블록을 일렬로 빈틈없이 늘어 놓을 때, 색이 달리지는 곳의 개수를 $a$ 라 하자. 예를 들어, 그림과 같이 $15$ 개의 블록을 일렬로 빈틈없이 늘어 놓은 경우 $a=5$ 이다. 이와 같이 $15$ 개의 블록을 일렬로 빈틈없이 늘어 놓는 모든 경우에 대하여 $a$ 값의 합은 $n \times 14!$ 이다. 자연수 $n$ 의 값은? ① $100$ ② $104$ ③ $108$ ④ $112$ ⑤ $116$ 정답 ③

$1$ 부터 $ n$ 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $n$ 장의 카드가 있다. 이 카드 중에서 임의로 서로 다른 $4$ 장의 카드를 선택할 때, 선택한 카드 $4$ 장에 적힌 수 중 가장 큰 수를 확률변수 $X$ 라 하자. 다음은 ${\rm E}(X)$ 를 구하는 과정이다. (단, $n \ge 4$) 자연수 $k\;(4 \le k \le n)$ 에 대하여 확률변수 $X$ 의 값이 $k$ 일 확률은 $1$ 부터 $k-1$ 까지의 자연수가 적혀 있는 카드 중에서 서로 다른 $3$ 장의 카드와 $k$ 가 적혀 있는 카드를 선택하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나누는 것이므로 ${\rm P}(X=k)= \dfrac{(가)}{_n {\rm C}_4}$이다. 자연수 $r\; (1 \le r \le k)$ 에 ..

그림과 같이 \(12\) 개의 칸 속에 ○ 또는 × 를 임의로 표기할 때, ○× 또는 ×○ 와 같이 표기된 부분의 개수가 \(k\) 가 되도록 표기하는 방법의 수를 \(a_k\) 라 하자. 예를 들어, 와 같이 표기한 것은 \(k=5\) 인 경우의 하나이다. \(\sum \limits_{k=1}^{5} a_k\) 의 값은? ① \(1024\) ② \(1026\) ③ \(2046\) ④ \(2048\) ⑤ \(2050\) 정답 ③

식 \[2 \cdot 1 \cdot {}_n {\rm C}_2 + 3 \cdot 2 \cdot {}_n {\rm C} _3 + \cdot + k(k-1)\cdot {}_n {\rm C}_k + \cdots + n(n-1) \cdot {}_n {\rm C}_n\] 을 간단히 하면? ① \(n \cdot 2^n\) ② \(n(n-1)\cdot 2^{n-1}\) ③ \(n(n-1) \cdot 2^{n-2}\) ④ \(n(n+1) \cdot 2^n\) ⑤ \(n(n+1) \cdot 2^{n-1}\) 정답 ③

\(10\) 개의 원소로 된 집합 \(A=\{ a_1,\; a_2 ,\; a_3 ,\; \cdots ,\; a_{10} \}\) 에 대하여 \(A\) 의 부분집합 중 \(a_1\) 을 포함하고 원소의 개수가 \(n\) 개인 부분집합의 개수를 \(f(n) \; (n=1,\;2,\;3,\; \cdots ,\;10)\) 이라 하자. 이때, \(f(2)+f(4)+f(6)+f(8)+f(10)\) 의 값을 구하시오. 정답 \(256\)

똑같은 제품 \(15\) 개와 서로 다른 제품 \(21\) 개가 있다. 이 중에서 \(10\) 개를 택하여 세트 상품을 만든다고 할 때, 만들 수 있는 서로 다른 세트 상품의 개수는? (단, 제품이 놓이는 위치는 고려하지 않는다.) ① \(2^{16}\) ② \(2^{17}\) ③ \(2^{18}\) ④ \(2^{19}\) ⑤ \(2^{20}\) 정답 ⑤

\(\left ( 1-2x \right )^9 = a_0 + a_1 x +a_2 x^2 + \cdots + a_9 x^9 \) 에 대하여 \(\log _3 \left ( |a_0|+|a_1|+ \cdots +|a_9| \right )\) 의 값은? ① \(3\) ② \(6\) ③ \(9\) ④ \(12\) ⑤ \(15\) 정답 ③

자연수 \(n\) 에 대하여 \[ f(n)=\sum \limits_{k=1}^{n} \left ( _{2k} {\rm C}_1 + _{2k} {\rm C} _3 + _{2k} {\rm C}_5 + \cdots + _{2k} {\rm C}_{2k-1} \right ) \] 일 때, \(f(5)\) 의 값을 구하시오. 정답 \(682\) [수능 수학/수능수학] - 이항계수의 성질