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목록수학1 (908)
수악중독
무한수열 \(\{a_n\}\) 을 \[{a_n} = \left\{ {\begin{array}{ll}0\\1\\2\end{array}}\right.\;\;\;\;\begin{array}{ll}{\left( {n = 3k - 2} \right)}\\{\left( {n = 3k - 1} \right)}\\ {\left( {n = 3k} \right)}\end{array}\;\; (단, \; k는 \; 자연수)\]로 정의할 때 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{a_n}{4^n}\) 의 값은? ① \(\dfrac{3}{4}\) ② \(\dfrac{2}{21}\) ③ \(\dfrac{13}{32}\) ④ \(\dfrac{17}{54}\) ⑤ \(\dfrac{29}{63}\) 정답 ②
\(2\) 보다 큰 자연수 \(n\) 에 대하여 \((-3)^{n-1}\) 의 \(n\) 제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(a_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=3}^{\infty} \dfrac{a_n}{2^n}\) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{6}\) ② \(\dfrac{1}{4}\) ③ \(\dfrac{1}{3}\) ④ \(\dfrac{5}{12}\) ⑤ \(\dfrac{1}{2}\) 정답 ① 실근의 개수가 왜 0, 1이 되는지 모르시는 분들은 거듭제곱근 개념을 다시 공부하셔야 합니다.
다음은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 부등식 \[\sum \limits_{i=1}^{2n+1} \dfrac{1}{n+i} = \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+ \cdots + \dfrac{1}{3n+1}>1\] 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. 자연수\(n\) 에 대하여 \(a_n = \dfrac{1}{n+1}+ \dfrac{1}{n+2} + \cdots + \dfrac{1}{3n+1}\) 이라 할 때, \(a_n >1\) 임을 보이면 된다. (1) \(n=1\) 일 때, \(a_1=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{4}>1\) 이다. (2) \(n=k\) 일 때, \(a_k >1\) 이라고 가정하면, \(n=k+1\) 일 때 \(\beg..
자연수 \(n\) 에 대하여 두 점 \({\rm P}_{n-1}, \; {\rm P}_n\) 이 함수 \(y=x^2\) 의 그래프 위의 점일 떄, 점 \({\rm P}_{n+1}\) 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 두 점 \({\rm P}_0, \; \rm P_1\) 의 좌표는 각각 \((0, \;0),\;(1, \;1)\) 이다. (나) 점 \({\rm P}_{n+1}\) 은 점 \({\rm P}_n\) 을 지나고 직선 \({\rm P}_{n-1} {\rm P}_n\) 에 수직인 직선과 함수 \(y=x^2\) 의 그래프의 교점이다. (단, \({\rm P}_n\) 과 \({\rm P}_{n+1}\) 은 서로 다른 점이다.) \(l_n = \overline{{\rm P}_{n-1} {\rm P}_n..
그림과 같이 한 변의 길이가 \(1\) 인 정사각형 \(\rm A_1 B_1 C_1 D_1\) 내부에 합동인 \(4\) 개의 직각삼각형의 넓이의 합과 정사각형 \(\rm A_2 B_2 C_2 D_2\) 의 넓이가 같도록 만들고, 정사각형 \(\rm A_2 B_2 C_2 D_2\) 내부에 같은 방법으로 정사각형 \(\rm A_3 B_3 C_3 D_3\) 를 만든다. 이와 같은 과정을 한없이 반복하여 만들어진 정사각형 \({\rm A}_n {\rm B}_n {\rm C}_n {\rm D}_n\) 의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, 무한급수 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n\) 의 값은? ① \(2\) ② \(\dfrac{9}{4}\) ③ \(\dfrac{5}{2}\) ④ \(\..
자연수 \(n\) 에 대하여 점 \({\rm P}_n\) 이 \(x\) 축 위의 점일 때, 점 \({\rm P}_{n+1}\) 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 점 \({\rm P}_1\) 의 좌표는 \(a_1 ,\; 0) \; (0
자연수 \(n\) 에 대하여 곡선 \(y=x^2\) 과 직선 \(y=-x+n\) 이 만나서 생기는 두 교점 사이의 거리를 \(l_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to 0} \dfrac{l_n ^2}{n}\) 의 값은? ① \(5\) ② \(6\) ③ \(7\) ④ \(8\) ⑤ \(9\) 정답 ④
수열 \(\{a_n\}\) 이 \[7a_1+7^2a_2+\cdots+7^na_n=3^n-1\] 을 만족시킬 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{a_n}{3^{n-1}}\) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{3}\) ② \(\dfrac{4}{9}\) ③ \(\dfrac{5}{9}\) ④ \(\dfrac{2}{3}\) ⑤ \(\dfrac{7}{9}\) 정답 ①
그림과 같이 좌표평면에서 자연수 \(n\) 에 대하여 직선 \(y=x+\dfrac{1}{n}\) 과 원 \(x^2+y^2=1\) 이 만나는 두 점을 각각 \({\rm P}_n,\; {\rm Q}_n\) 이라 하자. 삼각형 \({\rm OP}_n{\rm Q}_n\) 의 넓이를 \(A_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} n \cdot A_n\) 의 값은? (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) ① \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ② \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ③ \(1\) ④ \(\sqrt{2}\) ⑤ \(\sqrt{3}\) 정답 ①