수악중독

$3$ 보다 큰 자연수 $n$ 에 대하여 원 $C\; : \;x^2+y^2=n$ 이 있다. 삼차함수 $y=f(x)$ 가 $x=-1$ 에서 극대, $x=1$ 에서 극소이고, 두 점 $(-1, \; f(-1)), ~(1, \; f(1))$ 이 모두 원 $C$ 위에 있을 때, 그림과 같이 원 $C$ 의 내부는 곡선 $y=f(x)$ 에 의해 $4$ 개의 영역 $S_1, \; S_2, \; S_3 , \; S_4$ 로 나누어진다. 각 영역 $S_k\; (k=1, \; 2, \; 3, \; 4)$ 의 내부의 점들 중 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수인 점의 개수를 $g_k(n)$ 이라 할 때, $g_1(n)>g_3(n)$ 을 만족시키는 $n$ 의 최솟값은 $a$ 이다. $a+\{g_1(a) \times g_3..

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 최고차항의 계수가 $-1$ 인 이차함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(0, \; 0)$ 에서의 접선과 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(2, \; 0)$ 에서의 접선은 모두 $x$ 축이다.(나) 점 $(2, \; 0)$ 에서 곡선 $y=f(x)$ 에 그은 접선의 개수는 $2$ 이다.(다) 방정식 $f(x)=g(x)$ 는 오직 하나의 실근을 가진다. $x>0$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$g(x) \le kx-2 \le f(x)$$ 를 만족시키는 실수 $k$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $\alpha, \; \beta$ 라 할 때, $\alpha - \beta=a +b\sqrt{2}$ 이다 . $..

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 방정식 $$(f \circ f)(x) =x$$ 의 모든 실근이 $0, \; 1, \; a, \; 2, \; b$ 이다.$$f'(1)

좌표평면에서 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 원점을 지나는 직선 $y=g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $f(x)$ 는 $x=0$ 에서 극댓값 $27$ 을 갖는다.(나) 함수 $|f(x)-g(x)|$ 는 $x=-3$ 에서만 미분가능하지 않다.(다) 곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=g(x)$ 는 서로 다른 두 점에서 만난다. 함수 $f(x)$ 의 극솟값을 구하시오. 정답 $23$

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 양수 $k$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\dfrac{f(x)+|f(x)-k|}{2}$$ 라 하자. 두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 $x=0$ 에서만 미분가능하지 않다.(나) $g(0)=g(2)$ (다) $\displaystyle \int_0^2 |f(x)-g(x)| \; dx =8$ $g(1)+g(-1)$ 의 값을 구하시오. 정답 $9$

두 삼차함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$f(x)g(x)=(x-1)^2(x-2)^2(x-3)^2$$ 을 만족시킨다. $g(x)$ 의 최고차항의 계수가 $3$ 이고, $g(x)$ 가 $x=2$ 에서 극댓값을 가질 때, $f'(0)=\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $10$

함수 $f(x)=\dfrac{1}{4}x^4-2x^3+\dfrac{9}{2}x^2$ 위의 점 $(a, \; f(a))$ 에서의 접선의 방정식 $g(x)$ 에 대하여 함수 $h(x)$ 를 $$h(x)=\left \{ \begin{array}{cl} f(x) & (x

함수 $f(x)=x^3-6x^2$ 와 실수 $t$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 다음과 같이 정의한다. $$g(x)=\left \{ \begin{array}{ll} f(x)-f(t) & (x

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 의 역함수 $g(x)$ 에 대하여 함수 $h(x)=g\left ( f(x)-4x \right )$ 라 하자. 두 함수 $g(x)$ 와 $h(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $|f(0)|$ 의 값은? (가) $\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{g'( x)-1}{x}=0$(나) $x_1 < x_2$ 인 두 실수 $x_1, \; x_2$ 에 대하여 $h(x_1) - h(x_2)$ 가 최대일 때 $x_1x_2=8$ 이다. ① $18$ ② $21$ ③ $24$ ④ $27$ ⑤ $30$ 정답 ⑤

점 $(0, \;0)$ 을 지나는 삼차함수 $y=f(x)$ 에 대하여 함수 $$F(x)= \displaystyle \int_0^x f(t)dt$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $F(x)$ 는 $x=\alpha$ 에서 극대이고, $x=\beta$ 에서 극소이다.(나) $F(\alpha)=2, \;\; F(\beta)=0, \;\; F(\gamma)=4$ $(0