수악중독

첫째항이 \(1\) 인 수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \(S_n=\sum \limits_{k=1}^{n}a_k\) 라 할 때, \[nS_{n+1} =(n+2)S_n +(n+1)^3 \;\; (n \geq 1)\] 이 성립한다. 다음은 수열 \(\{a_n\}\) 의 일반항을 구하는 과정의 일부이다. 자연수 \(n\) 에 대하여 \(S_{n+1}=S_n +a_{n+1}\) 이므로 \[n a_{n+1} = 2S_n +(n+1)^3 \cdots\cdots ㉠\] 이다. \(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 \[(n-1)a_n=2S_{n-1}+n^3 \cdots\cdots ㉡\]이고, ㉠에서 ㉡을 뺀 식으로부터 \[na_{n+1}=(n+1)a_n + (가) \] 를 얻는다. 양변을 \(n(n+1)..

수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1=2\) 이고, \(S_n=\sum \limits_{k=1}^{n} a_k\) 라 할 때, \[a_{n+1}= \dfrac{S_n}{a_n}\;\; (n \geq 1) \] 을 만족시킨다. 다음은 \(S_n\) 을 구하는 과정이다. 주어진 식으로부터 \(a_2=\dfrac{S_1}{a_1}=1\) 이다. \(n\geq 3\) 일 때, \(a_n = \dfrac{S_{n-1}}{a_{n-1}}=\dfrac{S_{n-2}+a_{n-1}}{a_{n-1}}=\dfrac{a_{n-2}a_{n-1}+a_{n-1}}{a_{n-1}}\) 이므로 \(a_n =a_{n-2}+1\) 이다. 따라서 일반항 \(a_n\) 을 구하면, 자연수 \(k\) 에 대하여 \(n=2k-1\) 일 때..

수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1=4\) 이고, \[a_{n+1} = n \cdot 2^n +\sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{a_k}{k} \; (n \geq 1)\]을 만족시킨다. 다음은 일반항 \(a_n\) 을 구하는 과정이다. 주어진 식에 의하여 \[a_n =(n-1) \cdot 2^{n-1} + \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{a_k}{k} \;(n \geq 2)\] 이다. 따라서 \(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_{n+1}-a_n=(가)+\dfrac{a_n}{n} \) 이므로 \(a_{n+1}= \dfrac{(n+1)a_n}{n}+(가)\) 이다. \(b_n=\dfrac{a_n}{n}\) 이라 하면 \(b_{n+1}=b_n..