수악중독

전체집합 $U=\{2, \; 2^2, \; 2^3, \; 2^4, \; 2^5, \; 2^6\}$ 의 서로 다른 부분집합을 $A_i$ $(i=1, \; 2, \; 3, \; \cdots, \; 64)$ 라 하자. $n(A_i) \ge 3$ 을 만족시키는 모든 집합 $A_i$ 에 대하여 각 집합의 가장 작은 원소를 모두 더한 값을 구하시오. (단, $n(A)$ 는 집합 $A$ 의 원소의 개수이다.) 정답 $144$ 이 문제는 최소인 원소가 $2$, $2^2$, $2^3$, $2^4$ 일 때로 나누어 풀면 됩니다. 1. 최소인 원소가 $2$ 인 경우 원소의 개수가 $3$ 개인 부분집합의 개수는 $2$ 보다 큰 원소 $5$ 개 중 $2$ 개만 선택하면 되므로 ${}_5{\rm C}_2$ 원소의 개수가 $4$ ..

전체집합 $U=\{ x \; | \; x$ 는 10 이하의 자연수$\}$ 의 세 부분집합 $S_1, \; S_2, \; S_3$ 이 $$n(S_1) \ge 3, \;\; S_1 \subset S_2 \subset S_3$$ 을 만족시킨다. 다음은 집합 $S_1, \; S_2, \; S_3$ 의 모든 순서쌍 $(S_1, \; S_2, \; S_3)$ 의 개수를 구하는 과정이다. $n(S_1)=k$ ($3 \le k \le 10$, $k$ 는자연수)인 집합 $S_1$ 의 개수는 전체집합 $U$ 의 원소 $10$ 개 중 서로 다른 $k$ 개를 선택하는 조합의 수와 같으므로 $ _{10}{\rm C}_k$ 이다.또한 $S_1 \subset S_2 \subset S_3$ 이므로 집합 $S_1$ 에 속하지 않는 원..

전체집합 $U=\{1, \;2, \;3, \;4, \;5, \;6, \;7\}$ 의 두 부분집합 $$A=\{1, \;2, \;3\}, \;\; B=\{2, \;3, \;4, \;5\}$$ 에 대하여 집합 $P$ 를 $$P=(A \cup B) \cap (A \cap B)^C$$ 이라 하자. $P \subset X \subset U$ 를 만족시키는 집합 $X$ 의 개수를 구하시오. 정답 $16$ $$\begin{aligned} P &= (A \cup B) \cap (A \cap B)^C \\ &=(A \cup B) - (A \cap B) \\&=\{1, \;4, \;5\} \end{aligned}$$따라서 $X$는 $U$ 의 부분집합 중 $P=\{1, \;4, \;5\}$ 를 반드시 포함하는 부분집합이 된다..