수악중독

이차함수 $f(x)$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $$g(x)=\ln\{f(x)\}$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(x) \ge \ln 2$ 이고, 어떤 실수 $x$ 에 대하여 $g(x) \le \ln 2$ 이다.(나) 방정식 $g'(x)=g' \left ( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )$ 는 오직 한 개의 실근을 갖는다.(다) 조건 '어떤 실수 $x$ 에 대하여 $g'(x)=k$ 이다.' 가 참이 되도록 하는 실수 $k$ 의 범위는 $-\sqrt{2} \le k \le \sqrt{2}$ 이다. $g(0)$ 의 최댓값을 $M$ 이라고 할 때, $e^M$ 의 값을 구하시오. 정답 $10$