수악중독

함수 \(f(x)=x^2 (x-6)\) 이 \(0\leq x \leq 6\) 인 임의의 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(x) \geq f'(a)(x-a)+f(a)\) 를 만족시킬 때, 실수 \(a\) 의 최솟값을 구하시오. 정답 \(3\)

양수 \(a\) 에 대하여 점 \((a,\;0)\) 에서 곡선 \(y=3x^3\) 에 그은 접선과 점 \((0, \;a)\) 에서 곡선 \(y=3x^3\) 에 그은 접선이 서로 평행할 때, \(90a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(20\)

수직선 위에서 움직이는 두 점 \(\rm P, \; Q\) 가 있다. 출발한 지 \(t\) 초 후 두 점 \(\rm P,\; Q\) 의 위치가 각각 \( x_1 (t) = kt,\;\; x_2 (t)=t^3 -3t^2 +27\) 일 때, 점 \(\rm P, \;Q\) 가 적어도 한 번 만나게 되는 상수 \(k\) 의 최솟값을 구하시오. 정답 9

다음 그림과 같이 물체 \(\rm P\) 는 원점 \(\rm O\) 에서 \(100 \rm m\) 떨어진 지점 \(\rm A\) 를 항하여 움직이고, 물체 \(\rm Q\) 는 \(\rm A\) 에서 원점 \(\rm O\) 를 향하여 움직이고 있다. \(t\) 초 후의 두 물체 \(\rm P, \;Q\) 의 위치 \(f(t),\;g(t)\) 는 각각 \(f(t)=at,\; g(t)=t^3 -6t^2 +100\) 이다. 물체 \(\rm Q\) 가 움직이는 동안 물체 \(\rm P\) 와 한 번만 만난다고 할 때, 상수 \(a\) 의 값을 구하시오. 정답 15

부등식 \(-\ln x \le y \le \ln x,\;\;x>1\) 을 만족시키는 영역 위의 두 동점 \({\rm P} (a,\;b),\;\; {\rm Q}(c,\;d)\) 에 대하여 \(\dfrac{b+d}{a+c}\) 의 최댓값은? ① \(\dfrac{1}{e}\) ② \(1\) ③ \(\sqrt{e}\) ④ \(e\) ⑤ \(e^2\) 정답 ①