도형과 등비급수_난이도 상 (2022년 4월 전국연합 고3 미적분 28번)

그림과 같이 $\overline{\rm A_1B_1}=2$,  $\overline{\rm B_1C_1}=2\sqrt{3}$ 인 직사각형 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 이 있다. 선분 $\rm A_1D_1$ 을 $1:2$ 로 내분하는 점을 $\rm E_1$ 이라 하고 선분 $\rm B_1C_1$ 을 지름으로 하는 반원의 호 $\rm B_1C_1$ 이 두 선분 $\rm B_1 E_1, \; B_1D_1$ 과 만나는 점 중 점 $ \rm B_1$ 이 아닌 점을 각각 $\rm F_1, \; G_1$ 이라 하자. 세 선분 $\rm F_1E_1, \; E_1D_1, \; D_1G_1$ 과 호 $\rm F_1G_1$ 로 둘러싸인 

모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 

그림 $R_1$ 에 선분 $\rm B_1G_1$ 위의 점 $\rm A_2$, 호 $\rm G_1C_1$ 위의 점 $\rm D_2$ 와 선분 $\rm B_1C_1$ 위의 두 점 $\rm B_2, \; C_2$ 를 꼭짓점으로 하고 $\overline{\rm A_2B_2}:\overline{\rm B_2C_2}=1:\sqrt{3}$ 인 직사각형 $\rm A_2B_2C_2D_2$ 를 그린다. 직사각형 $\rm A_2B_2C_2D_2$ 에 그림 $R_1$ 을 얻은 것과 같은 방법으로

모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자. 

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} S_n$ 의 값은?

 

① $\dfrac{169}{864}\left (8\sqrt{3}-3\pi \right )$            ② $\dfrac{169}{798}\left (8\sqrt{3}-3\pi \right )$          ③ $\dfrac{169}{720}\left (8\sqrt{3}-3\pi \right )$          

 

④ $\dfrac{169}{864}\left (16\sqrt{3}-3\pi \right )$          ⑤ $\dfrac{169}{798}\left (16\sqrt{3}-3\pi \right )$

 

정답 ②