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목록기하 - 문제풀이/이차곡선 (101)
수악중독
그림과 같이 점 ${\rm F}(p, \; 0) \; (p>0)$ 을 지나고 기울기가 양수인 직선이 포물선 $y^2=4px$ 와 만나는 두 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 하고, 점 $\rm F$ 를 중심으로 하고 점 $\rm B$ 를 지나는 원을 $C$ 라 하자. 원 $C$ 가 선분 $\rm AF$ 와 만나는 점을 $\rm P$ , $x$ 축과 만나는 점 중 $x$ 좌표가 음수인 점을 $\rm Q$ 라 할 때, 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overline{\rm AP}=\overline{\rm PF}$ (나) 점 $\rm Q$ 의 $x$ 좌표는 $-1$ 이다. 삼각형 $\rm AQB$ 의 넓이는? (단, 점 $\rm A$ 는 제1사분면 위의 점이다.) ..
그림과 같이 두 점 ${\rm F}(c, \; 0), \; {\rm F'}(-c, \; 0) \; (c>0)$ 을 초점으로 하는 타원이 있다. 선분 $\rm F'F$ 를 $3:1$ 로 내분하는 점을 $\rm A$, $3:1$ 로 외분하는 점을 $\rm B$ 라 하고, 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 원이 타원과 제1사분면에서 만나는 점을 $\rm C$ 라 하자. $$\overline{\rm AF}=\overline{\rm AC}, \; \; \overline{\rm OC}= 2\sqrt{6}$$ 일 때, 이 타원의 장축의 길이는 $p$ 이다. $p^2$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 더보기 정답 $192$
그림과 같이 포물선 $y^2=16x$ 의 초점을 $\rm F$ 라 하자. 점 $\rm F$ 를 한 초점으로 하고 점 ${\rm A}(-2, \; 0)$ 을 지나며 다른 초점 $\rm F'$ 이 선분 $\rm AF$ 위에 있는 타원 $E$ 가 있다. 포물선 $y^2=16x$ 가 타원 $E$ 와 제1사분면에서 만나는 점을 $\rm B$ 라 하자. $\overline{\rm BF}=\dfrac{21}{5}$ 일 때, 타원 $E$ 의 장축의 길이는 $k$ 이다. $10k$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $66$
그림과 같이 좌표평면에서 포물선 $y^2=4x$ 의 초점 $\rm F$ 를 지나고 $x$ 축과 수직인 직선 $l_1$ 이 이 포물선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm A, B$ 라 하고, 점 $\rm F$ 를 지나고 기울기가 $m\ (m>0)$ 인 직선 $l_2$ 가 이 포물선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm C, \; D$ 라 하자. 삼각형 $\rm FCA$ 의 넓이가 삼각형 $\rm FDB$ 넓이의 $5$ 배일 때, $m$ 의 값은? (단, 두 점 $\rm A, \; C$ 는 제$1$사분면 위의 점이고, 두 점 $\rm B, \; D$ 는 제$4$사분면 위의 점이다. ) ① $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ② $1$ ③ $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ ④ $\dfra..
두 초점이 $\rm F, \; F'$ 이고 장축의 길이가 $2a$ 인 타원이 있다. 이 타원의 한 꼭짓점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$ 인 원이 이 타원의 서로 다른 두 꼭짓점과 한 초점을 지날 때, 상수 $a$ 의 값은? ① $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ② $\dfrac{\sqrt{6}-1}{2}$ ③ $\sqrt{3}-1$ ④ $2\sqrt{2}-2$ ⑤ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 더보기 정답 ③
포물선 $y^2=8x$ 와 직선 $y=2x-4$ 가 만나는 점 중 제$1$사분면 위에 있는 점을 $\rm A$ 라 하자. 양수 $a$ 에 대하여 포물선 $(y-2a)^2=8(x-a)$ 가 점 $\rm A$ 를 지날 때, 직선 $y=2x-4$ 와 포물선 $(y-2a)^2=8(x-a)$ 가 만나는 점 중 점 $\rm A$ 가 아닌 점을 $\rm B$ 라 하자. 두 점 $ \rm A, \; B$ 에서 직선 $x=-2$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm C, \; D$ 라 할 때, $\overline{\rm AC} + \overline{\rm BD}-\overline{\rm AB} = k$ 이다. $k^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $80$
좌표평면에서 두 점 ${\rm F} \left ( \dfrac{9}{4}, \; 0 \right ), \; {\rm F'} (-c, \; 0) \;\; (c>0)$ 을 초점으로 하는 타원과 포물선 $y^2=9x$ 가 제 $1$ 사분면에서 만나는 점을 $\rm P$ 라 하자. $\overline{\rm PF}=\dfrac{25}{4}$ 이고 포물선 $y^2=9x$ 위의 점 $\rm P$ 에서의 접선이 점 $\rm F'$ 을 지날 때, 타원의 단축의 길이는? ① $13$ ② $\dfrac{27}{2}$ ③ $14$ ④ $\dfrac{29}{2}$ ⑤ $15$ 더보기 정답 ⑤
그림과 같이 두 초점이 ${\rm F}(c, \; 0), \; {\rm F'}(-c, \; 0)\;\;(c>0)$ 인 타원 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{7}=1$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 직선 $\rm FP$ 와 직선 $\rm F'P$ 에 동시에 접하고 중심이 선분 $\rm F'F$ 위에 있는 원 $C$ 가 있다. 원 $C$ 의 중심을 $\rm C$, 직선 $\rm F'P$ 가 원 $C$ 와 만나는 점을 $\rm Q$ 라 할 때, $2\overline{\rm PQ}=\overline{\rm PF}$ 이다. $24 \times \overline{\rm CP}$ 의 값을 구하시오. (단, 점 $\rm P$ 는 제$1$사분면 위의 점이다.) 더보기 정답 $63$
그림과 같이 두 초점이 ${\rm F}(c, \; 0), \; {\rm F'}(-c, \; 0)$ 이고 장축의 길이가 $12$ 인 타원이 있다. 점 $\rm F$ 가 초점이고 직선 $x=-k\; (k>0)$ 이 준선인 포물선이 타원과 제 $2$ 사분면의 점 $\rm P$ 에서 만난다. 점 $\rm P$ 에서 직선 $x=-k$ 에 내린 수선의 발을 $\rm Q$ 라 할 때, 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\cos (\angle {\rm F'FP} ) = \dfrac{7}{8}$ (나) $\overline{\rm FP} - \overline{\rm F'Q} = \overline{\rm PQ} - \overline{\rm FF'}$ $c+k$ 의 값을 구하시오. 더보기 ..
두 초점이 ${\rm F}_1(c, \; 0), \; {\rm F}_2(-c, \; 0)$ 인 타원이 $x$ 축과 두 점 ${\rm A}(3, \; 0), \; {\rm B}(-3, \; 0)$ 에서 만난다. 선분 $\rm BO$ 가 주축이고, 점 $\rm F_1$ 이 한 초점이 쌍곡선의 초점 중 ${\rm F}_1$ 이 아닌 점을 ${\rm f}_3$ 이라 하자. 쌍곡선이 타원과 제 $1$ 사분면에서 만나는 점을 $\rm P$ 라 할 때, 삼각형 $\rm PF_3F_2$ 의 둘레의 길이를 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 더보기 정답 $12$